{"id":925,"date":"2021-10-16T18:15:55","date_gmt":"2021-10-16T16:15:55","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=925"},"modified":"2021-10-17T18:42:59","modified_gmt":"2021-10-17T16:42:59","slug":"determinantes-y-matriz-inversa-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=925","title":{"rendered":"Determinantes y matriz inversa"},"content":{"rendered":"<style type=\"text\/css\">\nboton {\n border: none;\n background: rgba(0,0,0,0);\n color: #3a7999;\n box-shadow: inset 0 0 0 3px #3a7999;\n padding: 10px;\n font-size: 125%;\n border-radius: 5px;\n position: relative;\n box-sizing: border-box;\n}\n<\/style>\n<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>\u00bfQu\u00e9 tal? Gracias por acercarte al blog compartir un ratito conmigo y con las mates. Hoy vamos a trabajar conjuntamente con las matrices y con los determinantes: estudiaremos la estrecha relaci\u00f3n que hay entre la inversa de una matriz y los determinantes.<\/p>\n<p>Fundamental la noci\u00f3n de adjunto de un elemento en una matriz cuadrada. Precisemos el concepto:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">ADJUNTO DE UN ELEMENTO<\/div>\n<p><\/p>\n<p>Sea \\(A\\) una matriz cuadrada.<\/p>\n<p>El adjunto del elemento elemento \\(a_{ij}\\) , designado por \\(A_{ij}\\), es el producto del n\u00famero \\(\\left(-1\\right)^{i+j}\\) por el determinante que se obtiene al eliminar en \\(A\\) la fila \\(i\\) y la columna \\(j\\).<\/p>\n<\/fieldset>\n<p>Te propongo practicar con:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">ADJUNTOS<\/div>\n<p>\n    En las matrices<br \/>\n    \\[A=\\left(\\begin{array}{rrc}1&#038;-1&#038;2\\\\3&#038;0&#038;2\\\\-1&#038;1&#038;5\\end{array}\\right) ~\\text{  y  }~ B=\\left(\\begin{array}{rc}1&#038;3\\\\-2&#038;0\\end{array}\\right)\\]<br \/>\n     Calculemos los adjuntos \\( A_{21} \\,, A_{33} \\,, B_{11} \\,, B_{12}\\).<br \/>\n<\/fieldset>\n<p>Ahora estamos ya preparados para analizar el siguiente teorema que caracteriza las matrices cuadradas con inversa y que nos da una f\u00f3rmula que permite su c\u00e1lculo:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<p>Sea \\(A\\) una matriz cuadrada:<\/p>\n<ol>\n<li>\\(A\\) tiene inversa siempre y cuando sea \\(\\mathrm{det}\\left(A\\right)\\neq0\\). <\/li>\n<p><\/p>\n<li>Si \\(\\mathrm{det}\\left(A\\right)\\neq0\\) entonces \\[A^{-1}=\\frac{1}{\\mathrm{det}\\left(A\\right)}\\cdot\\mathrm{Adj}\\left(A\\right)^{t}\\] Donde \\(\\mathrm{Adj}\\left(A\\right)\\) es la matriz formada por todos los adjuntos de \\(A\\).<\/li>\n<\/ol>\n<\/fieldset>\n<p>Observa que se indica en primer lugar que s\u00f3lo estamos hablando de matrices cuadradas: s\u00f3lo est\u00e1 definida la inversa y el determinante de una matriz cuadrada<\/p>\n<p>En la primera afirmaci\u00f3n se aclara: s\u00f3lo las matrices con determinante no nulo tienen una matriz inversa. Esas matrices cuadradas se denominan regulares. As\u00ed que para averiguar si una matriz es invertible basta con calcular su determinante: si es cero no hay inversa y si es distinto de cero s\u00ed la hay.<\/p>\n<p>En la segunda afirmaci\u00f3n se da una f\u00f3rmula de c\u00e1lculo usando los determinantes: hay que dividir la traspuesta de la matriz de los adjuntos entre el determinante.<\/p>\n<p>Lo mejor es hacer unos ejemplitos aclaratorios. Uno primero con matrices de dos filas:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">CUESTI\u00d3N 1<\/div>\n<p>\n    Hallemos las inversas de las siguientes matrices:<br \/>\n    \\[A=\\left(\\begin{array}{rrr}1&#038;-1&#038;0\\\\2&#038;1&#038;-7\\end{array}\\right) ~\\text{  ,  }~ B=\\left(\\begin{array}{cr}1&#038;-1\\\\2&#038;-2\\end{array}\\right) ~\\text{  y  }~ C=\\left(\\begin{array}{cr}1&#038;-1\\\\2&#038;0\\end{array}\\right)\\]<br \/>\n<\/fieldset>\n<p>Ahora uno con una matriz 3&#215;3:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">CUESTI\u00d3N 2<\/div>\n<p>\n    Obtengamos la inversa de<br \/>\n    \\[A=\\left(\\begin{array}{rrr}1&#038;-1&#038;0\\\\2&#038;1&#038;0\\\\-1&#038;3&#038;-2\\end{array}\\right)\\]<br \/>\n<\/fieldset>\n<p>Finalmente una sencilla preguntita donde la matriz tiene un par\u00e1metro y as\u00ed discutimos:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">CUESTI\u00d3N 3<\/div>\n<p>\n    \u00bfPara qu\u00e9 valores de \\(k\\) tiene inversa la siguiente matriz?<br \/>\n    \\[A=\\left(\\begin{array}{cc}k&#038;2\\\\2&#038;k\\end{array}\\right)\\]<br \/>\n<\/fieldset>\n<p>\u00bfC\u00f3mo? \u00bfNo sabes lo que son los adjuntos en una matriz cuadrada? \u00bfSe te hace entonces muy cuesta arriba eso de calcular la inversa con determinantes? Vaya&#8230; Aqu\u00ed tienes dos grabaciones: un primer v\u00eddeo donde se explican junto son la resoluci\u00f3n paso a paso de la cuesti\u00f3n 1 y un segundo con las dos siguientes cuestiones pr\u00e1cticas resueltas.<\/p>\n<table width=\"100%\">\n<tbody>\n<tr>\n<th width=\"50%\">Inversa y determinantes 1<\/th>\n<th width=\"50%\">Inversa y determinantes 2<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<th width=\"50%\"><iframe src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/rpXQ6YcF0X8\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/th>\n<th width=\"50%\"><iframe src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/oBpMngTMep4\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/th>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Seguro que ya sabr\u00e1s contestar a la siguiente<\/p>\n<form name=\"ejercicio1\">\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div class=\"pregunta\">\n<div style=\"text-align: center;\">CUESTI\u00d3N<\/div>\n<p>Estudiemos para qu\u00e9 valores de \\(m\\) tiene inversa la siguiente matriz<br \/>\n\\[ P=\\left(\\begin{array}{rr}m&amp;-1\\\\6&amp;2\\\\\\end{array}\\right)\\]<br \/>\nson, respectivamente:<\/p>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio1.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> \\(m=-3\\).<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('suger1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver sugerencia\">&#10067;<\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio1.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> \\(m\\neq3\\).<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio1.feedback1.value=' &#9989; Correcto '\" type=\"radio\" \/> \\(m\\neq-3\\).<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio1.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> \\(m=3\\).<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\"text-align: center;\"><input name=\"feedback1\" size=\"10\" \/><\/div>\n<p>\n<\/div>\n<div id=\"suger1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Sugerencia:<\/p>\n<p>Calculemos su determinante e igualemos a cero. Apliquemos el Teorema de la Matriz Inversa.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"solu1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Calculemos su determinante:<br \/>\n\\[\\mathrm{det}\\left(P\\right)=2m+6 \\rightarrow 2m+6=0 \\rightarrow m=-3 \\]<br \/>\nAs\u00ed, para \\(m=-3\\) la matriz no tiene inversa (porque su determinante es nulo) y para \\(m\\neq-3\\) s\u00ed tiene inversa (porque su determinante es no nulo).\n<\/p><\/div>\n<\/fieldset>\n<p>Bueno, aqu\u00ed lo \u00fanico enredoso es el c\u00e1lculo de los adjuntos. Pero no presenta grandes dificultades<\/p>\n<p>Espero que est\u00e9s avanzando con las matrices y que estas publicaciones te sean \u00fatiles. Hasta pronto.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u00bfQu\u00e9 tal? Gracias por acercarte al blog compartir un ratito conmigo y con las mates. Hoy vamos a trabajar conjuntamente con las [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"post-templates\/post_nosidebar.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[31],"tags":[65,64,50],"class_list":["post-925","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematicas-aplicadas-ii","tag-algebra","tag-matrices-y-determinantes","tag-video"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/925","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=925"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/925\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":926,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/925\/revisions\/926"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=925"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=925"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=925"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}