{"id":906,"date":"2021-10-06T15:45:04","date_gmt":"2021-10-06T13:45:04","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=906"},"modified":"2021-10-06T23:01:20","modified_gmt":"2021-10-06T21:01:20","slug":"producto-de-matrices-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=906","title":{"rendered":"Producto de matrices"},"content":{"rendered":"<style type=\"text\/css\">\nboton {\n border: none;\n background: rgba(0,0,0,0);\n color: #3a7999;\n box-shadow: inset 0 0 0 3px #3a7999;\n padding: 10px;\n font-size: 125%;\n border-radius: 5px;\n position: relative;\n box-sizing: border-box;\n}\n<\/style>\n<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>Pasamos en la publicaci\u00f3n de hoy a analizar el producto de matrices. Interesante operaci\u00f3n que no es tan simple como la suma y que desconcierta cuando la descubres.<\/p>\n<p>Es muy importante observar c\u00f3mo son las dimensiones de las matrices que se multiplican y el orden en que se efect\u00faa la operaci\u00f3n, porque el producto no tiene la propiedad conmutativa. Cuidado: esto quiere decir que el producto puede cambiar (o incluso no existir) si cambiamos el orden al multiplicar, pero en ocasiones obtenemos el mismo resultado (se dice entonces que el las matrices conmutan).<\/p>\n<p>Creo que me estoy adelantando. Paso directamente a la definici\u00f3n:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">DEFINICI\u00d3N<\/div>\n<p>\nSi \\(A\\) es una matriz de dimensiones \\(m\\times p\\) y \\(B\\) es de dimensiones \\(p\\times n\\), la matriz producto \\(C=A\\cdot B\\) es la de dimensiones \\(m\\times n\\) con:\\[c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\\ldots+a_{ip}b_{pj}\\]<\/fieldset>\n<p>Para asimilarlo, practicaremos con este sencillo ejercicio:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">DEFINICI\u00d3N<\/div>\n<p>Consideremos las matrices\\[A=\\left(\\begin{array}{rrr}1&#038;-1&#038;3\\\\2&#038;2&#038;0\\end{array}\\right)~,~B=\\left(\\begin{array}{cr}1&#038;-1\\\\0&#038;2\\\\3&#038;1\\end{array}\\right)~,~C=\\left(\\begin{array}{cr}1&#038;-1\\\\1&#038;0\\end{array}\\right)\\]Calculemos\\[ A\\cdot C ~,~ A \\cdot B ~,~ B \\cdot A\\]<\/fieldset>\n<p>Si es la primera vez que te acercas a estas cuestiones, os propongo trabajar las ideas y los ejemplos conmigo a trav\u00e9s del siguiente v\u00eddeo. Todo trabajado desde cero, fundamentando la definici\u00f3n:<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">\n<p><iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/GrypEaFnNDo\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<\/div>\n<p>\u00bfA que ahora ha quedado todo claro? S\u00ed, seguro que s\u00ed. Pero es importante practicar para asentar el algoritmo.<\/p>\n<p>Os propongo un par de sencillas cuestiones para comprobar nuestras habilidades.<\/p>\n<form name=\"ejercicio1\">\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div class=\"pregunta\">\n<div style=\"text-align: center;\">CUESTI\u00d3N 1<\/div>\n<p>Dadas las matrices<br \/>\n\\[A=\\left(\\begin{array}{rrr}3&amp;0&amp;-2\\\\-1&amp;5&amp;2\\\\-1&amp;4&amp;1\\end{array}\\right)\\quad,\\quad B=\\left(\\begin{array}{rrr}2&amp;-1&amp;3\\\\5&amp;1&amp; -1\\end{array} \\right)\\]<br \/>\nsi ponemos<br \/>\n\\[C=A \\cdot B^{\\,t}\\]<br \/>\n\u00bfcu\u00e1les son las dimensiones de \\(C\\) \u00bfcu\u00e1nto es \\(s=c_{21}+c_{32}\\)?<\/p>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio1.feedback1.value=' &#9989; Correcto '\" type=\"radio\" \/> 3&#215;2 y \\(s=-3\\).<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('suger1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver sugerencia\">&#10067;<\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio1.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> No puede efectuarse el producto.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio1.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> 2&#215;3 y \\(s\\) no existe.<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio1.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> 3&#215;2 y \\(s=3\\).<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\"text-align: center;\"><input name=\"feedback1\" size=\"10\" \/><\/div>\n<p>\n<\/div>\n<div id=\"suger1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Sugerencia:<\/p>\n<p>Tengamos en cuenta que al trasponer se intercambian filas por columnas y que el producto tiene tantas filas como el primer factor y tantas columnas como el segundo factor.<\/p>\n<p>Y recordemos que en un producto hemos de multiplicar cada una de las filas del primer factor por cada una de las columnas del segundo factor.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"solu1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Calculamos la matriz:<br \/>\n\\[C=\\left(\\begin{array}{rrr}3&amp;0&amp;-2\\\\-1&amp;5&amp;2\\\\-1&amp;4&amp;1\\end{array}\\right)\\cdot \\left(\\begin{array}{rr}2&amp;5\\\\-1&amp;1\\\\3&amp;-1\\end{array} \\right)=\\left(\\begin{array}{rr}0&amp;17\\\\-1&amp;&minus;2\\\\-3&amp;&minus;2\\end{array}\\right)\\]<br \/>\nLuego las dimensiones del resultado son 3&#215;2 y \\(s=-1-2=-3\\)\n<\/p><\/div>\n<\/fieldset>\n<p>\n<\/form>\n<form name=\"ejercicio2\">\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div class=\"pregunta\">\n<div style=\"text-align: center;\">CUESTI\u00d3N 2<\/div>\n<p>En \\(D = B + C \\cdot A^{t}\\) sabemos que \\(A\\) tiene 3 columnas, \\(C\\) tiene 2 filas y \\(D\\) tiene 4 columnas. As\u00ed las respectivas dimensiones de \\(A\\,,B\\,,C\\,,D\\) son:<\/p>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio2.feedback2.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> No es posible realizar la operaci\u00f3n.<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('suger2')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver sugerencia\">&#10067;<\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio2.feedback2.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> 2&#215;3, 2&#215;4, 3&#215;2, 2&#215;4.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio2.feedback2.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> Indeterminados.<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu2')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio2.feedback2.value=' &#9989; Correcto '\" type=\"radio\" \/> 4&#215;3, 2&#215;4, 2&#215;3, 2&#215;4.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\"text-align: center;\"><input name=\"feedback2\" size=\"10\" \/><\/div>\n<p>\n<\/div>\n<div id=\"suger2\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Sugerencia:<\/p>\n<p>Escribamos bajo las matrices las dimensiones, colocando el n\u00famero conocido y un hueco para lo desconocido. Y tengamos en cuenta tres cosas: al trasponer se intercambian filas con columnas, al multiplicar coinciden las columnas del primero con las filas del segundo y, por \u00faltimo, al sumar o restar todas las dimensiones deben coincidir con las del resultado.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"solu2\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Siguiendo las sugerencias propuestas:<\/p>\n<ol>\n<li>El n\u00famero de filas de \\(A^{t}\\) es el n\u00famero de columnas de \\(A\\), as\u00ed que tiene 3 filas<\/li>\n<p><\/p>\n<li>El n\u00famero de columnas de \\(C\\) coincide con el n\u00famero de filas de \\(A^{t}\\), as\u00ed que tiene 3 columnas.<\/li>\n<p><\/p>\n<li>Coinciden el n\u00famero de columnas de \\(D\\,,B\\,A^{t}\\), as\u00ed que todas tienen 4 columnas y, por ello, \\(A\\) tiene 4 filas.<\/li>\n<p><\/p>\n<li>Coinciden el n\u00famero de filas de \\(D\\,,B \\,,C\\), as\u00ed que todas tienen 2 filas<\/li>\n<p>\n<\/ol>\n<p>Las respectivas dimensiones de \\(A\\,,B\\,,C\\,,D\\) son 4&#215;3, 2&#215;4, 2&#215;3, 2&#215;4.<\/p>\n<\/div>\n<\/fieldset>\n<p>\n<\/form>\n<p>Importante recordar:<\/p>\n<ol>\n<li>En un producto el n\u00famero de columnas de la primera debe coincidir con el n\u00famero de filas de la segunda.<\/li>\n<p><\/p>\n<li>El producto de matrices no es conmutativo.<\/li>\n<p>\n<\/ol>\n<p>Sin m\u00e1s que a\u00f1adir por hoy, te agradezco la visita y te espero en la siguiente entrega dedicada a las matrices.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Pasamos en la publicaci\u00f3n de hoy a analizar el producto de matrices. 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