{"id":903,"date":"2021-10-05T09:57:24","date_gmt":"2021-10-05T07:57:24","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=903"},"modified":"2021-10-05T09:57:24","modified_gmt":"2021-10-05T07:57:24","slug":"propiedades-de-los-logaritmos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=903","title":{"rendered":"Propiedades de los logaritmos"},"content":{"rendered":"<style type=\"text\/css\">\nboton {\n border: none;\n background: rgba(0,0,0,0);\n color: #3a7999;\n box-shadow: inset 0 0 0 3px #3a7999;\n padding: 10px;\n font-size: 125%;\n border-radius: 5px;\n position: relative;\n box-sizing: border-box;\n}\n<\/style>\n<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>\u00bfQu\u00e9 tal? Hoy estudiaremos algunas propiedades muy interesantes de los logaritmos, que est\u00e1n relacionadas \u00edntimamente con la de las potencias. Y esas propiedades se suelen entrenar en cursos de Aritm\u00e9tica a trav\u00e9s de las denominadas ecuaciones logar\u00edtmicas.<\/p>\n<p>La primera es conocida como logaritmo del producto, la segunda como logaritmo de un cociente y la tercera como logaritmo de una potencia. Si no la conoces, aqu\u00ed la tienes. Puedes ver la demostraci\u00f3n pulsando el bot\u00f3n:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">PROPIEDADES<\/div>\n<p>Si todos los n\u00fameros que aparecen son positivos, se verifica:<\/p>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p>Logaritmo de un producto:\\[\\log_{a}{x}+\\log_{a}{y}= \\log_{a}\\left(x\\cdot y\\right)\\]\n\t\t<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n\t\t\t<boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver demostraci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton>\n\t\t<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div id=\"solu1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>DEMOSTRACI\u00d3N:<\/p>\n<p>Pongamos<br \/>\n\\[ u=\\log_{a}{x} \\rightarrow a^u=x \\quad [i]\\]<br \/>\nY ahora:<br \/>\n\\[ v=\\log_{a}{y} \\rightarrow a^v=y \\rightarrow a^v=y  \\quad [ii]\\]<br \/>\nMultiplicando [i] por [ii]:<br \/>\n\\[ a^u\\cdot a^v = x \\cdot y \\rightarrow a^{u+v}=x\\cdot y\\]<br \/>\nDe la definici\u00f3n de logaritmo en base a:<br \/>\n\\[\\log_{a}\\left(x\\cdot y\\right)=u+v=\\log_{a}{x}+\\log_{a}{y}\\]<\/p>\n<hr \/>\n<\/div>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p>Logaritmo de un cociente:\\[ \\log_{a}{x}-\\log_{a}{y}= \\log_{a}\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)\\]\n\t\t<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n\t\t\t<boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu2')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver demostraci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton>\n\t\t<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div id=\"solu2\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>DEMOSTRACI\u00d3N:<\/p>\n<p>Pongamos<br \/>\n\\[ u=\\log_{a}{x} \\rightarrow a^u=x \\quad [i]\\]<br \/>\nY ahora:<br \/>\n\\[ v=\\log_{a}{y} \\rightarrow a^v=y \\rightarrow a^v=y  \\quad [ii]\\]<br \/>\nDividiendo [i] entre [ii]:<br \/>\n\\[ \\dfrac{a^u}{a^v} = \\dfrac{x}{y} \\rightarrow a^{u-v}=\\dfrac{x}{y}\\]<br \/>\nDe la definici\u00f3n de logaritmo en base a:<br \/>\n\\[\\log_{a}\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)=u-v= \\log_{a}{x}-\\log_{a}{y}\\]<\/p>\n<hr \/>\n<\/div>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p>Logaritmo de una potencia:\\[ y\\log_{a}{x}=\\log_{a}\\left(x^y\\right)\\]\n\t\t<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n\t\t\t<boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu3')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver demostraci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton>\n\t\t<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div id=\"solu3\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>DEMOSTRACI\u00d3N:<\/p>\n<p>Pongamos<br \/>\n\\[ u=\\log_{a}{x} \\rightarrow a^u=x \\quad [i]\\]<br \/>\nElevando a \\(y\\) ambos miembros de [i]:<br \/>\n\\[ \\left(a^u\\right)^y = x^y \\rightarrow a^{y\\cdot u}=x^y\\]<br \/>\nDe la definici\u00f3n de logaritmo en base a:<br \/>\n\\[\\log_{a}\\left(x^y\\right)=y \\cdot u = y \\log_{a}{x}\\]<\/p>\n<hr \/>\n<\/div>\n<\/fieldset>\n<p>Observa que permiten concentrar en un \u00fanico logaritmo tanto una suma como una resta de logaritmos as\u00ed como el producto de un n\u00famero por un logaritmo. Pero si las leemos derecha a iquierda permiten desarrollar logaritmos. Depender\u00e1 de lo que necesitemos se usar\u00e1n en un sentido o en otro.<\/p>\n<p>Practiquemos:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">EJERCICIO<\/div>\n<p>Resolvamos estas ecuaciones:<\/p>\n<ol type=\"A\">\n<li>\\(2\\log_{3}{x}+\\log_{3}{5}=2 \\)<\/li>\n<p><\/br><\/p>\n<li>\\(3\\ln{2}-\\ln\\left(x+1\\right)=\\ln{4}+\\ln{5}\\)<\/li>\n<\/ol>\n<\/fieldset>\n<p>En el siguiente v\u00eddeo puedes ver comentadas las propiedades y resueltas las ecuaciones:<\/p>\n<p><div style=\"text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/82xJckzcvaU\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<p>Espero haberte ayudado a comprender todo; practicando adquirir\u00e1s soltura en todas estas cuestiones. Te animo a ello y a volver para la siguiente publicaci\u00f3n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u00bfQu\u00e9 tal? Hoy estudiaremos algunas propiedades muy interesantes de los logaritmos, que est\u00e1n relacionadas \u00edntimamente con la de las potencias. 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