{"id":895,"date":"2021-10-03T11:43:54","date_gmt":"2021-10-03T09:43:54","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=895"},"modified":"2021-10-03T11:43:54","modified_gmt":"2021-10-03T09:43:54","slug":"calculo-de-exponente-con-cambio-de-base-logaritmica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=895","title":{"rendered":"C\u00e1lculo de exponente con cambio de base logar\u00edtmica"},"content":{"rendered":"<style type=\"text\/css\">\nboton {\n border: none;\n background: rgba(0,0,0,0);\n color: #3a7999;\n box-shadow: inset 0 0 0 3px #3a7999;\n padding: 10px;\n font-size: 125%;\n border-radius: 5px;\n position: relative;\n box-sizing: border-box;\n}\n<\/style>\n<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>Hola. Vamos a comprobar hoy c\u00f3mo usar los logaritmos para obtener exponentes y qu\u00e9 podemos hacer para obtener una buena aproximaci\u00f3n usando una simple calculadora cient\u00edfica.<\/p>\n<p>Ya definimos en una publicaci\u00f3n anterior lo que era el logaritmo de un n\u00famero, en una base, y c\u00f3mo calcular algunos sencillos. Pero ese c\u00e1lculo no siempre es posible mentalmente. A veces necesitamos una calculadora o un programa para hacerlo. Pero nos encontramos que nuestra m\u00e1quina s\u00f3lo tiene una tecla para obtener logaritmos decimales (base 10) o logaritmos neperianos (base n\u00famero \\(e\\)). Esto no supone ning\u00fan problema porque hay una sencilla f\u00f3rmula que nos permite cambiar la base del logaritmo. Si no la conoces, aqu\u00ed la tienes. Puedes ver la demostraci\u00f3n pulsando el bot\u00f3n:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">CAMBIO DE BASE<\/div>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p>Sean \\(a\\) y \\(b\\) dos n\u00fameros positivos distintos de la unidad y \\(x\\) un n\u00famero positivo cualquiera. Se cumple:<\/p>\n<p>\\[ \\log_{a}{x}=\\dfrac{\\log_{b}{x}}{\\log_{b}{a}}\\]\n\t\t<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n\t\t\t<boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton>\n\t\t<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div id=\"solu1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>DEMOSTRACI\u00d3N:<\/p>\n<p>Pongamos<br \/>\n\\[ u=\\log_{b}{x} \\rightarrow b^u=x \\quad [i]\\]<br \/>\nY ahora:<br \/>\n\\[ v=\\log_{b}{a} \\rightarrow b^v=a \\rightarrow b=a^{1\/v} \\quad [ii]\\]<br \/>\nSustituyendo [ii] en [i]:<br \/>\n\\[ \\left(a^{1\/v}\\right)^u=x \\rightarrow a^{u\/v}=x\\]<br \/>\nDe la definici\u00f3n de logaritmo en base a:<br \/>\n\\[\\log_{a}{x}=\\frac{u}{v}= \\dfrac{\\log_{b}{x}}{\\log_{b}{a}}\\]<\/p>\n<hr \/>\n<\/div>\n<\/fieldset>\n<p>Cojamos una calculadora:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">EJEMPLITOS<\/div>\n<p>Pasemos a logaritmo decimal o logaritmo neperiano y obtengamos:<\/p>\n<ol type='a'>\n<li>\\(\\log_{5}{25}=\\dfrac{\\log_{10}{25}}{\\log_{10}{5}}=2 \\)<\/li>\n<p><\/br><\/p>\n<li>\\(\\log_{9}{\\sqrt{3}}=\\dfrac{\\ln{\\sqrt{3}}}{\\ln{9}}=0.25\\)<\/li>\n<\/ol>\n<\/fieldset>\n<p>Vamos ahora que tenemos las herramientas necesarias a resolver el siguiente problema:<\/p>\n<form name=\"ejercicio1\">\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div class=\"pregunta\">\n<div style=\"text-align: center;\">EJERCICIO<\/div>\n<p>\u00bfA qu\u00e9 n\u00famero hemos de elevar 2 para obtener 5? Aprox\u00edmalo hasta las cent\u00e9simas.<\/p>\n<\/fieldset>\n<\/form>\n<p>Si no sabes resolverlo a\u00fan o quieres realizar una comprobaci\u00f3n, en el siguiente v\u00eddeo se resuelve y se ofrece una aproximaci\u00f3n alternativa sin usar la f\u00f3rmula del cambio de base:<\/p>\n<p><div style=\"text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/t0frbphv7Qg\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<p>Algo que se se escapa al nivel de nuestros encuentros es la prueba de que dicho exponente existe efectivamente. Supuesto que aceptamos que ese n\u00famero exite, observamos c\u00f3mo el logaritmo permite expresarlo y sus propiedades nos permiten obtenerlo con la aproximaci\u00f3n deseada.<\/p>\n<p>Espero que hayas llegado hasta el final y que haberte sido \u00fatil.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hola. 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