{"id":823,"date":"2021-03-18T18:00:01","date_gmt":"2021-03-18T16:00:01","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=823"},"modified":"2021-03-20T20:26:00","modified_gmt":"2021-03-20T18:26:00","slug":"teorema-de-rouche","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=823","title":{"rendered":"Teorema de Rouch\u00e9"},"content":{"rendered":"

En la anterior entrada analizamos la Regla de Cramer. Presenta dos inconvenientes: s\u00f3lo se refiere a sistemas con igual n\u00famero de ecuaciones que de inc\u00f3gnitas y el determinante de los coeficientes debe ser no nulo para poder ser aplicaci\u00f3n.<\/p>\n

Hoy vamos a estudiar un teorema global que permite analizar cualquier sistema de ecuaciones lineales comparando el rango de la matriz de coeficientes y la matriz del sistema o matriz ampliada: el Teorema de Rouch\u00e9. Aunque tiene un \u00abligero\u00bb inconveniente: no proporciona las soluciones cuando es compatible. No obstante, esto puede soslayarse y aplicar la Regla de Cramer a un sistema equivalente.<\/p>\n

Pero no nos adelantemos y comencemos con el enunciado:<\/p>\n

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TEOREMA DE ROUCH\u00c9<\/p>\n<\/div>\n

Sea \\(S\\) un sistema de \\(m\\) ecuaciones lineales con \\(n\\) inc\u00f3gnitas. Designemos por \\(C\\) a la matriz de coeficientes del sistema y por \\(A\\) a la matriz ampliada con los t\u00e9rminos independientes.<\/p>\n

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  1. Si \\(\\mathrm{rg}\\left(C\\right)\\neq\\mathrm{rg}\\left(A\\right)\\) entonces el sistema es incompatible.<\/li>\n
  2. Si \\(\\mathrm{rg}\\left(C\\right)=\\mathrm{rg}\\left(A\\right)\\) entonces el sistema es compatible. Supongamos que \\(\\mathrm{rg}\\left(C\\right)=\\mathrm{rg}\\left(A\\right)=r\\).\n
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    1. Si \\(r=n\\) entonces \\(S\\) es compatible determinado.<\/li>\n
    2. Si \\(r<n\\) entonces \\(S\\) es compatible indeterminado, de modo que la soluci\u00f3n depende de \\(n-r\\) par\u00e1metros.<\/li>\n<\/li>\n<\/ol>\n<\/ol>\n<\/fieldset>\n

      Aunque el teorema no proporciona directamente un algoritmo de resoluci\u00f3n, s\u00ed podemos determinar uno usando los resultados sobre los rangos de las matrices:<\/p>\n

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      PROCEDIMIENTO DE RESOLUCI\u00d3N<\/p>\n<\/div>\n

      Supongamos que \\(\\mathrm{rg}\\left(C\\right)=\\mathrm{rg}\\left(A\\right)=r\\): encontramos un menor principal \\(\\Delta_r\\neq0\\) en la matriz de coeficientes. Como el rango de la matriz ampliada tambi\u00e9n es \\(r\\), las ecuaciones correspondientes a las filas de las que sale el menor principal son combinaci\u00f3n lineal de las \\(r\\) filas de donde aparece. Nos quedamos as\u00ed con un sistema equivalente de r ecuaciones.<\/p>\n

      Si es \\(r=n\\) se trata de un sistema de Cramer. Y si es \\(r<n\\), entonces pasamos las \\(n-r\\) inc\u00f3gnitas correspondientes a las columnas de las que no sale el menor principal al segundo miembro: \u00a1son inc\u00f3gnitas libres o par\u00e1metros! De esta manera nos queda un sistema con \\(r\\) inc\u00f3gnitas, correspondientes a la columnas de las que sale el menor principal y con determinante de coeficientes \\(\\Delta_r\\neq0\\): \u00a1podemos aplicar a este sistema equivalente tambi\u00e9n la Regla de Cramer!<\/p>\n

      Un poco lioso, \u00bfverdad? Vamos a estudiarlo en un caso concreto, resolviendo el siguiente ejercicio:<\/p>\n

      \nClasifiquemos y resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:\\[\\left\\{ \\begin{array}{lcr} 2x+3y-\\phantom{5}z&=&2\\\\[1mm] 3x-\\phantom{3}y+5z& =& -1\\\\[1mm] 5x+2y+4z& =& 1 \\end{array} \\right.\\]<\/fieldset>\n

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      Bueno, tanto una lectura pormenorizada del teorema como una resoluci\u00f3n detallada del ejercicio la puedes encontrar en el siguiente v\u00eddeo:<\/p>\n

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