{"id":795,"date":"2021-02-12T12:00:45","date_gmt":"2021-02-12T10:00:45","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=795"},"modified":"2021-02-16T00:38:57","modified_gmt":"2021-02-15T22:38:57","slug":"rango-de-una-matriz-y-determinantes","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=795","title":{"rendered":"Rango de una matriz y determinantes"},"content":{"rendered":"<style type=\"text\/css\">\nboton {\n border: none;\n background: rgba(0,0,0,0);\n color: #3a7999;\n box-shadow: inset 0 0 0 3px #3a7999;\n padding: 10px;\n font-size: 125%;\n border-radius: 5px;\n position: relative;\n box-sizing: border-box;\n}\n<\/style>\n<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>Buenas y bienvenida a esta nueva publicaci\u00f3n sobre matrices y con los determinantes. Hoy nos vamos a ocupar de estudiar el rango de una matriz a trav\u00e9s de los determinantes.<\/p>\n<p>Es posible introducirlos, partiendo de las combinaciones lineales en las l\u00edneas de una matriz, a trav\u00e9s de la dependencia e independencia de l\u00edneas. Y proceder a su c\u00e1lculo en ejemplos pr\u00e1cticos concretos con el m\u00e9todo de reducci\u00f3n de Gauss. Luego lo comentaremos.<\/p>\n<p>Primero hay que introducir la noci\u00f3n de menores en una matriz:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<p>Decimos que el determinante \\(\\Delta\\) es un menor de la matriz \\(A\\) si sus elementos son los que quedan al eliminar filas y\/o columnas de ella.<\/p>\n<\/fieldset>\n<p>Atenci\u00f3n: pudiera ser que se eliminen s\u00f3lo filas, s\u00f3lo columnas, ambas o ninguna (cero eliminadas). Por ejemplo, son menores de la matriz:<br \/>\n\\[ A=\\left(\\begin{array}{rrrr}3&amp;-1&amp;1&amp;-2\\\\6&amp;5&amp;0&amp;-3\\\\2&amp;4&amp;7&amp;0\\end{array}\\right)\\] los determinantes (intenta averiguar d\u00f3nde est\u00e1n ubicados los elementos y qu\u00e9 l\u00edneas hay que eliminar para obtenerlos):\\[ \\Delta_1=7\\quad,\\quad\\Delta_2=\\left|\\begin{array}{rr}-1&amp;1\\\\5&amp;0\\\\\\end{array}\\right| \\quad,\\quad \\Delta_3=\\left|\\begin{array}{rrr}3&amp;1&amp;-2\\\\6&amp;0&amp;-3\\\\2&amp;7&amp;0\\end{array}\\right|\\]<\/p>\n<p>El sub\u00edndice en ellos denota el orden.<\/p>\n<p>Lo que se analiza con el rango es si esos menores son cero o no:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<p>Decimos que el rango de una matriz es el n\u00famero \\(h\\) si existe en ella un menor de orden de orden \\(h\\) no nulo, pero no hay ning\u00fan menor de orden superior a \\(h\\) distinto de cero; bien porque no existen bien porque todos son nulos.<\/p>\n<p>Se conviene en que el rango de una matriz nula es 0.<\/p>\n<\/fieldset>\n<p>Tradicionalmente: \u00abel rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo\u00bb.<\/p>\n<p>En la siguiente matriz, oberservemos que las dos primeras filas no son proporcionales y que la tercera es la diferencia de las dos primeras:<br \/>\n\\[ M=\\left(\\begin{array}{rrrr}3&amp;5&amp;1&amp;0\\\\1&amp;-1&amp;-1&amp;2\\\\2&amp;6&amp;2&amp;-2\\end{array}\\right)\\] Por ello es posible encontrar menores de orden 2 distintos de cero pero todos los menores de orden 3 son nulos: su rango es 2. Ello equivale a decir que podemos encontrar 2 l\u00edneas paralelas independientes (no proporcionales) pero que 3 l\u00edneas siempre ser\u00e1n dependientes (una siempre ser\u00e1 combinaci\u00f3n de las otras dos).<\/p>\n<p>Te propongo los dos v\u00eddeos siguientes para acercarte al concepto y c\u00e1lculo del rango usando los determinantes. Se incluyen ejercicios con par\u00e1metros:<\/p>\n<table width=\"100%\">\n<tbody>\n<tr>\n<th width=\"50%\">Rango y determinantes 1<\/th>\n<th width=\"50%\">Rango y determinantes 2<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<th width=\"50%\"><iframe src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/KPIGpBC9AoQ\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/th>\n<th width=\"50%\"><iframe src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/UMlvMMHLQk8\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/th>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Como hemos comentado antes, todo est\u00e1 relacionado con la dependencia o independencia de las l\u00edneas que forman la matriz. S\u00f3lo se hace una observaci\u00f3n en un v\u00eddeo del siguiente:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">TEOREMA DEL RANGO<\/div>\n<p>Sea \\(A\\) una matriz y \\(\\Delta\\neq0\\) un menor de orden \\(h\\) tal que no hay un menor de orden superior en la matriz no nulo.<\/p>\n<p><p>Entonces se tiene que:<\/p>\n<ol type=a>\n<li>El rango de \\(A\\) es \\(h\\).<\/li>\n<p><\/p>\n<li>Las filas (y columnas) de \\(A\\) con las que se ha formado \\(\\Delta\\) son linealmente independientes entre s\u00ed.<\/li>\n<p><\/p>\n<li>Las restantes filas (o columnas) de \\(A\\), si las hubiese, son combinaciones lineales de ellas.<\/li>\n<p>\n<\/ol>\n<\/fieldset>\n<p>Una sencilla pregunta al respecto.<\/p>\n<form name=\"ejercicio1\">\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div class=\"pregunta\">\n<div style=\"text-align: center;\">CUESTI\u00d3N<\/div>\n<p>Si una matriz \\(A\\), de orden \\(n\\) es invertible, su rango&#8230;<\/p>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio1.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> Es imposible saberlo.<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('suger1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver sugerencia\">&#10067;<\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio1.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> Es igual al valor de su determinante.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio1.feedback1.value=' &#9989; Correcto '\" type=\"radio\" \/> Es \\(n\\).<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio1.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> Es \\(n\\times n=n^2\\).<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\"text-align: center;\"><input name=\"feedback1\" size=\"10\" \/><\/div>\n<p>\n<\/div>\n<div id=\"suger1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Sugerencia:<\/p>\n<p>Recordemos el Teorema de la Matriz Inversa: \u00bfcu\u00e1ndo tiene una matriz cuadrada inversa?<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"solu1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Si la matriz cuadrada de orden \\(n\\) tiene inversa entonces su determinante, el menor de mayor orden que puede formarse, es no nulo. As\u00ed que el rango es \\(n\\).<\/p>\n<\/div>\n<\/fieldset>\n<p>Bueno, espero que este inicialmente enrevesado concepto lo hayas captado y sepas ya calcular y discutir el rango de una matriz.<\/p>\n<p>Gracias por tu atenci\u00f3n y hasta la pr\u00f3xima.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Buenas y bienvenida a esta nueva publicaci\u00f3n sobre matrices y con los determinantes. 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