{"id":750,"date":"2021-01-15T17:00:56","date_gmt":"2021-01-15T15:00:56","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=750"},"modified":"2021-01-19T17:13:40","modified_gmt":"2021-01-19T15:13:40","slug":"integral-definida-y-area","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=750","title":{"rendered":"Integral definida y \u00e1rea"},"content":{"rendered":"<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>Hola. Hoy vamos a avanzar en el conocimiento de las integrales definidas.<\/p>\n<p>Ya sabemos calcularlas mediante la Regla de Barrow y hemos visto sus propiedades b\u00e1sicas. Y hoy vamos a ver para qu\u00e9 se introdujeron las integrales definidas: para calcular el \u00e1rea de recintos delimitados por gr\u00e1ficas de funciones continuas.<\/p>\n<p>\u00bfSabr\u00edas obtener las \u00e1reas de los recintos que se detallan en la siguiente cuesti\u00f3n?<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\nConsideremos las funciones definidas por<br \/>\n\\[f\\left(x\\right)= x^2 \\quad , \\quad g\\left(x\\right)=\\operatorname{sen}\\left(x\\right)\\]<br \/>\nObtengamos el \u00e1rea del recinto delimitado por la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n y el eje de abscisas<\/p>\n<ol>\n<li>en el intervalo \\(\\left[0\\,,1\\right]\\) para \\(f\\).<\/li>\n<p><\/p>\n<li> en el intervalo\\(\\left[0\\,,2\\pi\\right]\\) para \\(g\\).<\/li>\n<\/ol>\n<\/fieldset>\n<p><\/p>\n<p>En el siguiente v\u00eddeo se analiza todo ello detenidamente:<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">\n<iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/hMSIHfr9UB4\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<p>Tomando como punto de partida lo visto antes, esto se generaliza a continuaci\u00f3n:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\nSea \\(f\\) una funci\u00f3n continua en el intervalo compacto \\(\\left[a\\,,b\\right]\\) y consideremos el recinto \\(\\mathscr{R}\\) delimitado por la gr\u00e1fica \\(y=f\\left(x\\right)\\), el eje de abscisas y las rectas \\(x=a\\) y \\(x=b\\).<\/p>\n<p>El \u00e1rea de dicho recinto viene dado por<br \/>\n\\[a\\left(\\mathscr{R}\\right)= \\int_{a}^{b} \\left|f\\right|\\]<br \/>\n<\/fieldset>\n<p>Te propongo el siguiente ejercicio para comprobar que, efectivamente, el \u00e1rea que proporciona la integral definida es la que nosostros hemos estudiado desde peque\u00f1itos para recintos elementales como rect\u00e1ngulos o tri\u00e1ngulos. Y gracias a las propiedades de las integrales (aditividad, linealidad, cambios de variables,&#8230;) las de cualquier pol\u00edgono.<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\nSean \\(b >0 \\,, h>0\\) dos n\u00fameros reales y consideremos las funciones \\(f\\) y \\(g\\) definidas por:<\/p>\n<p>\\[f\\left(x\\right)= h \\quad , \\quad g\\left(x\\right)=\\frac{h}{b}x\\]<\/p>\n<ol>\n<li>Calculemos las integrales definidas de esas funciones en \\(\\left[0\\,,b\\right]\\).<\/li>\n<p><\/p>\n<li>\u00bfQu\u00e9 pol\u00edgonos delimitan las gr\u00e1ficas de dichas funciones con el eje de abscisas en dicho intervalo?<\/li>\n<p><\/p>\n<li>Obtengamos las \u00e1reas de dichos pol\u00edgonos y comparemos con las integrales antes calculadas<\/li>\n<\/ol>\n<\/fieldset>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('prueba')\" title=\"Ver soluci\u00f3n\">RESOLUCI\u00d3N<\/a><\/p>\n<div id=\"prueba\" style=\"display: none;\">\n<hr>\n<p>Calculemos las integrales<\/p>\n<p>\\(\\displaystyle{\\int_{0}^{b}f\\left(x\\right)\\,{\\rm d}x= \\int_{0}^{b}h\\,{\\rm d}x=\\Bigl[h\\,x\\Bigr]_{0}^{b}=b\\cdot h}\\)<br \/>\n\\(\\displaystyle{\\int_{0}^{b}g\\left(x\\right)\\,{\\rm d}x= \\int_{0}^{b}\\frac{h}{b}x\\,{\\rm d}x=\\frac{h}{b}\\left[\\frac{x^2}{2}\\right]_{0}^{b}=\\frac{b\\cdot h}{2}}\\)<\/p>\n<p>La gr\u00e1fica de \\(f\\) es una recta horizontal, as\u00ed que el recinto del enunciado es un rect\u00e1ngulo cuya base mide \\(b\\) y de altura \\(h\\). En cuanto a la gr\u00e1fica de \\(g\\) es una l\u00ednea recta que pasa por el origen y por ello determina en dicho intervalo con el eje de abscias un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo de base igual a \\(b\\) y de altura \\(h\\).<\/p>\n<p>Por supuesto que las archiconocidas \u00e1reas de esos recintos son exactamente las dos integrales calculadas previamente.<\/p>\n<hr>\n<\/div>\n<p>Espero que se haya sido clarificador y servido de ayuda. Gracias y hasta la pr\u00f3xima.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hola. Hoy vamos a avanzar en el conocimiento de las integrales definidas. 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