{"id":734,"date":"2021-01-08T13:41:14","date_gmt":"2021-01-08T11:41:14","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=734"},"modified":"2021-01-08T13:41:14","modified_gmt":"2021-01-08T11:41:14","slug":"integral-definida-propiedades-basicas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=734","title":{"rendered":"Integral definida: propiedades b\u00e1sicas"},"content":{"rendered":"<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>Hoy vamos a dedicar estas l\u00edneas a comentar las propiedades b\u00e1sicas de las integrales definidas. Vamos directamente a ellas:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<p>Sean \\(f\\) y \\(g\\) funciones continuas en cada punto de un intervalo compacto \\(\\left[a\\,,b\\right]\\).<\/p>\n<ol>\n<li>Para cualesquiera n\u00fameros \\(\\alpha\\) y \\(\\beta\\) se tiene:<br \/>\n\\[ \\int_{a}^{b}\\left(\\alpha f + \\beta g \\right) = \\alpha \\int_{a}^{b} f + \\beta \\int_{a}^{b} g  \\]\n<\/li>\n<p><\/p>\n<li>Si \\(f\\) es no negativa en el intervalo, entonces su integral definida en el intervalo es tambi\u00e9n no negativa:<br \/>\n\\[ f \\geq 0 \\text{ en } \\left[a\\,,b\\right] \\rightarrow \\int_{a}^{b} f \\geq 0 \\]\n<\/li>\n<p><\/p>\n<li>Si \\(c\\) es un n\u00famero del intervalo entonces:<br \/>\n\\[\\int_{a}^{b} f = \\int_{a}^{c} f + \\int_{c}^{b} f \\]\n<\/li>\n<\/ol>\n<\/fieldset>\n<p><\/p>\n<p>Vamos a usarlas para resolver el siguiente ejercicio:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<p>Calculemos:<\/p>\n<ol>\n<li>\\(\\displaystyle{ \\int_{0}^{2\\pi}\\left(2\\operatorname{sen}{x}+3\\cos{x}\\right)\\,{\\rm d}x }\\)<\/li>\n<p><\/p>\n<li>\\(\\displaystyle{ \\int_{0}^{2}f\\left(x\\right)\\,{\\rm d}x }\\quad ,,\\)<br \/>\n\\[f\\left(x\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ccc} x &amp; \\text{si } &amp; x\\leq1 \\\\ x^2+x-1 &amp; \\text{si } &amp; x>1 \\\\ \\end{array}\\right. \\]\n<\/li>\n<\/fieldset>\n<p>En el v\u00eddeo se obtienen, por si no sabes calcularlas o quieres comprobar tu trabajo.<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">\n<iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/wfrSwk3QBqY\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<p>En el v\u00eddeo se demuestra la tercera propiedad b\u00e1sica enunciada arriba. \u00bfSabr\u00edas demostrar la segunda? Vamos a proponer la prueba como ejercicio, as\u00ed como la deduci\u00f3n a partir de ella de la propiedad denominada \u00abmonoton\u00eda de la integral definida\u00bb:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<p>Deduzcamos de la Regla de Barrow las siguientes propiedades.<\/p>\n<p>Sean \\(f\\) y \\(g\\) funciones continuas en cada punto de un intervalo compacto \\(\\left[a\\,,b\\right]\\).<\/p>\n<ol>\n<li>\\(f\\geq0 \\rightarrow \\displaystyle{ \\int_{a}^{b}f \\geq 0 }\\)<\/li>\n<p><\/p>\n<li>\\(f \\leq g \\rightarrow \\displaystyle{ \\int_{a}^{b}f \\leq \\int_{a}^{b}g }\\)<\/li>\n<\/ol>\n<\/fieldset>\n<p style=\"text-align: center;\"><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('prueba')\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> PRUEBA<\/a><\/p>\n<div id=\"prueba\" style=\"display: none;\">\n<hr>\n<p>Sean \\(F\\) y \\(G\\) primitivas de \\(f\\) y \\(g\\), respectivamente.<\/p>\n<p>En la primera propiedad se parte de la premisa \\(f\\geq0\\). Al ser \\(F&#8217;=f\\) tenemos que la funci\u00f3n \\(F\\) es creciente:<br \/>\n\\[F \\nearrow \\text{ en }\\left[a\\,,b\\right]\\rightarrow F\\left(b\\right) \\geq F\\left(a\\right) \\rightarrow \\int_{a}^{b} f = F\\left(b\\right)-F\\left(a\\right)\\geq0\\]<br \/>\nEn la segunda, se parte de la premisa \\(f \\leq g\\). Por ello es \\(g-f\\geq0\\) y, aplicando la propiedad primera:<br \/>\n\\[\\int_{a}^{b}\\left(g-f\\right) \\geq0 \\longrightarrow \\int_{a}^{b}g &#8211; \\int_{a}^{b} f \\geq0 \\rightarrow \\int_{a}^{b} g \\geq \\int_{a}^{b}f\\]<\/p>\n<hr>\n<\/div>\n<p>Espero que se hayan comprendido estas deducciones y que haya sido todo de utilidad.<\/p>\n<p>Gracias y hasta la pr\u00f3xima.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hoy vamos a dedicar estas l\u00edneas a comentar las propiedades b\u00e1sicas de las integrales definidas. 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