{"id":718,"date":"2020-12-13T16:30:32","date_gmt":"2020-12-13T14:30:32","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=718"},"modified":"2020-12-13T16:30:32","modified_gmt":"2020-12-13T14:30:32","slug":"integracion-con-cambio-de-variable","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=718","title":{"rendered":"Integraci\u00f3n con cambio de variable"},"content":{"rendered":"<style type=\"text\/css\">\nboton {\n border: none;\n background: rgba(0,0,0,0);\n color: #3a7999;\n box-shadow: inset 0 0 0 3px #3a7999;\n padding: 10px;\n font-size: 125%;\n border-radius: 5px;\n position: relative;\n box-sizing: border-box;\n}\n<\/style>\n<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>Hola. No podemos dedicar una serie al C\u00e1lculo de Primitivas sin comentar el cambio de variable en las integrales.<\/p>\n<p>Es un m\u00e9todo que extiende el c\u00e1lculo de las integrales de formas compuestas, que ya vimos. Tratamos de integrandos que f\u00e1cilmente reconoc\u00edamos en nuestra tabla de integrales. Pero eso no siempre es tan sencillo.<\/p>\n<p>Y en estos casos m\u00e1s complejos se recurre al llamado \u00abcambio de variable\u00bb, siendo aqu\u00ed donde se hace patente la utilidad de la notaci\u00f3n de Leibnitz para las integrales. Pues hasta ahora esos diferenciales no nos han servido m\u00e1s que para estorbar y olvidarlos en muchas ocasiones.<\/p>\n<p>Si ya conoces el m\u00e9todo, te sugiero estas tres integrales. Me gustar\u00eda comentar el cambio sugerido en la tercera integral, que puede parecer desconcertante: \u00bfc\u00f3mo usar ese cambio cuando en el integrando no se ve ni un seno? Pero si nos detemos un momento, calculamos la diferencial y recordamos la llamada f\u00f3rmula fundamental de la trigonometr\u00eda, ya la tenemos.<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">INTEGRALES<\/div>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\">\\(I_1= \\displaystyle{\\int\\! \\dfrac{\\left(\\ln{x}\\right)^3}{x}\\,\\mathrm{d}x }\\)<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n\t\t\t<boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton>\n\t\t<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div id=\"solu1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Usemos el cambio de variable \\(t=\\ln{x}\\) (aunque se aprecia que es una forma compuesta potencial). Lo primero calcular el diferencial:<br \/>\n\\[t=\\ln{x} \\rightarrow {\\rm d}t=\\dfrac{1}{x}\\,{\\rm d}x\\]<br \/>\nPara verlo m\u00e1s claro, separemos la fracci\u00f3n como producto del numerador por el inverso del denominador. As\u00ed ya aparece la diferencial de la nueva variable:<br \/>\n\\[I_3=\\int\\left(\\ln{x}\\right)^3\\cdot\\dfrac{1}{x}\\,{\\rm d}x=\\int t^3\\,{\\rm d}t \\]<br \/>\nAhora tenemos una integral inmediata: calculamos y deshacemos el cambio de variable:<br \/>\n\\[I_3=\\dfrac{1}{4}t^4+C=\\dfrac{1}{4}\\left(\\ln{x}\\right)^4+C \\]<\/p>\n<hr \/>\n<\/div>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\">\\(I_2=\\displaystyle{\\int\\!\\dfrac{\\sqrt{x}}{x+1}\\,\\mathrm{d}x }\\)<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n\t\t\t<boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu2')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton>\n\t\t<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div id=\"solu2\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Usemos el cambio de variable \\(x=t^2\\) Lo primero calcular el diferencial:<br \/>\n\\[x=t^2 \\rightarrow {\\rm d}x=2\\,t\\,{\\rm d}t\\]<br \/>\nDirectamente sustituimos todo y nos queda una integral racional:<br \/>\n\\[I_3=\\int\\dfrac{\\sqrt{t^2}}{t^2+1} \\, 2t\\,{\\rm d}t=\\int\\dfrac{2t^2}{t^2+1}\\,{\\rm d}t \\]<br \/>\nHabr\u00e1 que dividir el numerador entre el denominador:<br \/>\n\\[{2t^2}:{\\left(t^2+1\\right)}\\rightarrow\\left\\{ \\begin{array}{l}c\\left(t\\right)=2\\\\[2mm]r\\left(t\\right)=-2\\end{array}\\right. \\]<br \/>\nAhora descomponemos, tal y como ya vimos en las integrales racionales:<br \/>\n\\[I_3=\\int 2\\,{\\rm d}t+\\int\\dfrac{-2}{t^2+1}\\,{\\rm d}t \\]<br \/>\nAhora tenemos la suma de dos integrales inmediatas (Cuidado que la variable es \\(t\\)). Calculamos y deshacemos el cambio de variable (\\(t=\\sqrt{x}\\))<br \/>\n\\[I_3=2t-2\\arctan{t}+C=2\\sqrt{x}-2\\arctan{\\sqrt{x}}+C \\]<\/p>\n<hr \/>\n<\/div>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\">\\( I_3=\\displaystyle{\\int\\!\\cos^3{x}\\,\\mathrm{d}x }\\)<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n\t\t\t<boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu3')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton>\n\t\t<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div id=\"solu3\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Lo primero calcular el diferencial:<br \/>\n\\[t=\\operatorname{sen}{x} \\rightarrow {\\rm d}t=\\cos{x}\\,{\\rm d}x\\]<br \/>\nPara poder calcular necesitamos expresar el cubo del coseno como el producto del cuadrado del coseno por el coseno. Por un lado ya aparece la diferencial de la nueva variable y el cuadrado lo despejamos de la f\u00f3rmula fundamental (\\(\\cos^2{x}=1-\\operatorname{sen}^2{x}\\)):<br \/>\n\\[I_3=\\int\\cos^2{x}\\cos{x}\\,{\\rm d}x = \\int\\left(1 &#8211; \\operatorname{sen}^2{x}\\right)\\cos{x}\\,{\\rm d}x=\\int \\left(1-t^2\\right)\\,{\\rm d}t \\]<br \/>\nAhora tenemos una integral inmediata: calculamos y deshacemos el cambio de variable:<br \/>\n\\[I_3=t-\\dfrac{1}{3}t^3+C=\\operatorname{sen}{x}-\\dfrac{1}{3}\\operatorname{sen}^3{x}+C \\]\n<\/p><\/div>\n<\/fieldset>\n<p>Si no conoces el m\u00e9todo o est\u00e1s comenzando y necesitas apoyo extra, el siguiente v\u00eddeo puede ayudarte. En \u00e9l se resuelven detenidamente las dos primeras.<\/p>\n<p><div style=\"text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/AbBRWxyPf-U\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<p>Espero que hayas comprendido todo y que se hayan expuesto las cosas con claridad.<\/p>\n<p>Gracias por tu visita y te espero en la siguiente publicaci\u00f3n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hola. No podemos dedicar una serie al C\u00e1lculo de Primitivas sin comentar el cambio de variable en las integrales. 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