{"id":710,"date":"2020-12-11T20:27:36","date_gmt":"2020-12-11T18:27:36","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=710"},"modified":"2020-12-12T13:15:09","modified_gmt":"2020-12-12T11:15:09","slug":"integracion-de-funciones-racionales-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=710","title":{"rendered":"Integraci\u00f3n de funciones racionales (II)"},"content":{"rendered":"<style type=\"text\/css\">\nboton {\n border: none;\n background: rgba(0,0,0,0);\n color: #3a7999;\n box-shadow: inset 0 0 0 3px #3a7999;\n padding: 10px;\n font-size: 125%;\n border-radius: 5px;\n position: relative;\n box-sizing: border-box;\n}\n<\/style>\n<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>Bienvenida a la entrada de hoy, en la que vamos a una segunda parte dedicada a las integrales de las funciones racionales (fracciones de polinomios). Trabajaremos tres integrales que complementan los casos que vimos en la anterior propuesta.<\/p>\n<p>La primera es un compendio de lo visto en el otro d\u00eda (primero divisi\u00f3n entero y luego fracciones simples con ra\u00edces reales sencillas) y la segunda con un denominador en la que las ra\u00edces son reales pero hay una m\u00faltiple. La tercera es m\u00e1s compleja, porque hay que actuar primero integrando por partes para a continuaci\u00f3n trabajar con una funci\u00f3n racional cuyo denominador no tiene ra\u00edces reales. Concretamente, vamos a obtener las siguientes:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div style=\"text-align: center;\">INTEGRALES<\/div>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\">\\(I_1= \\displaystyle{\\int\\! \\dfrac{x^3+x^2}{x^2+x-2}\\,\\mathrm{d}x }\\)<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n\t\t\t<boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton>\n\t\t<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div id=\"solu1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Estamos ante la integral de una funci\u00f3n racional donde el grado del numerador no es inferior al del denominador: habr\u00e1 que efectuar la divisi\u00f3n entera de polinomios:<br \/>\n\\[\\left( x^3+x^2 \\right) : \\left( x^2+x-2 \\right) \\; \\rightarrow \\;<br \/>\n\\left\\{ \\begin{array}{l}c\\left( x \\right)=x \\\\[2mm]r\\left( x \\right)=2x\\end{array}\\right. \\]<br \/>\nVolviendo ahora a nuestra primitiva:<br \/>\n\\[I_1= \\int\\! \\left(x+\\frac{2x}{x^2+x-2}\\right) {\\rm d}x \\quad [*] \\]<br \/>\nEn esta \u00faltima fracci\u00f3n, como es:<br \/>\n\\[ x^2+x-2=0 \\; \\rightarrow \\; x=1 \\,, x=-2 \\]<br \/>\npodemos descomponer en fracciones simples as\u00ed:<br \/>\n\\[ \\frac{2x}{ \\left(x-1\\right) \\left(x+2 \\right) } =\\frac{a}{x-1}+\\frac{b}{x+2}=\\frac{a \\left(x+2 \\right)+b \\left(x-1\\right)}{ \\left(x-1\\right) \\left(x+2 \\right)} \\]<br \/>\nIgualando los numeradores:<br \/>\n\\[2x = a \\left(x+2 \\right)+b \\left(x-1\\right) \\; \\longrightarrow \\;<br \/>\n\\left\\{ \\begin{array}{l}<br \/>\\mbox{si } x=1 \\rightarrow 2 = 3a \\rightarrow a =\\dfrac{2}{3} \\\\[3mm]<br \/>\n\\mbox{si } x=-2 \\rightarrow -4 = -3b \\rightarrow b = \\dfrac{4}{3}<br \/>\n\\end{array}\\right. \\]<br \/>\nDe esta descomposici\u00f3n y [*] resulta:<br \/>\n\\[ I_1 = \\int \\! x \\,\\mathrm{d}x + \\int \\! \\frac{\\frac{2}{3}}{x-1}\\,\\mathrm{d}x+ \\int \\! \\frac{\\frac{4}{3}}{x+2}\\,\\mathrm{d}x=\\frac{1}{2}x^2+\\frac{2}{3}\\ln\\left| x-1\\right|+\\frac{4}{3}\\ln\\left| x+2\\right|+C \\]<\/p>\n<hr \/>\n<\/div>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\">\\(I_2=\\displaystyle{\\int\\!\\dfrac{x^2+x+3}{(x-2)(x+1)^2}\\,\\mathrm{d}x }\\)<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n\t\t\t<boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu2')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton>\n\t\t<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div id=\"solu2\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Descomponemos en fracciones simples:<br \/>\n\\[\\frac{x^2+x+3}{(x-2)(x+1)^2}  = \\frac{a}{x-2}+\\frac{b}{x+1}+\\frac{c}{(x+1)^2}\\]<br \/>\nEfectuando esa suma e igualando numeradores:<br \/>\n\\[x^2+x+3 =  a(x+1)^2+b(x-2)(x+1)+c(x-2)\\]<br \/>\nPrimero hacemos<br \/>\n\\[x=-1\\rightarrow 3=c\\cdot(-3) \\rightarrow c=-1\\]<br \/>\nAhora<br \/>\n\\[x=2 \\rightarrow 9 = a\\cdot 9\\rightarrow a=1\\]<br \/>\nY por \u00faltimo, un valor cualquiera para la constante que nos queda:<br \/>\n\\[x=0\\rightarrow 3=a-2b-2c=1-2b+2\\rightarrow b=0\\]<br \/>\nAhora, por fin:<br \/>\n\\[I_2 = \\int\\!\\left(\\frac{1}{x-2}+\\frac{-1}{(x+1)^2}\\right){\\rm d}x=\\ln|x-2|+\\frac{1}{x+1}+C \\]<\/p>\n<hr \/>\n<\/div>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\">\\( I_3=\\displaystyle{\\int\\!\\left(4x-3\\right) \\arctan\\left(x\\right)\\,\\mathrm{d}x }\\)<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n\t\t\t<boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu3')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton>\n\t\t<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div id=\"solu3\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Integramos por partes, tomando \\(4x-3\\) para integrar y el arco-tangente para derivar:<br \/>\n\\[I_3= \\left(2x^2-3x\\right)\\arctan\\left(x\\right) &#8211; \\int \\left(2x^2-3x\\right)\\cdot\\frac{1}{1+x^2}\\,{\\rm d}x = \\left(2x^2-3x\\right)\\arctan\\left(x\\right) &#8211; \\int\\frac{2x^2-3x}{1+x^2}\\,{\\rm d}x \\]<br \/>\nHabr\u00e1 que efectuar la divisi\u00f3n entera de polinomios en \u00e9sta:<br \/>\n\\[\\left( 2x^2-3x \\right) : \\left( x^2+1 \\right) \\; \\rightarrow \\;<br \/>\n\\left\\{ \\begin{array}{l}c\\left( x \\right)=2 \\\\[2mm]r\\left( x \\right)=-3x-2\\end{array}\\right. \\]<br \/>\nVolviendo a la integral (cuidado con los signos, no nos liemos):<br \/>\n\\[I_3=\\left(2x^2-3x\\right)\\arctan\\left(x\\right)-\\int2\\,{\\rm d}x+\\int\\frac{3x+2}{1+x^2}\\,{\\rm d}x\\]<br \/>\nEn \u00e9sta, que es relativamente sencilla, descomponemos en dos sumandos: uno con numerador \\(3x\\) para obtener un logaritmo y otro con con numerador \\(2\\) para obtener un arco tangente:<br \/>\n\\[I_3= \\left(2x^2-3x\\right)\\arctan\\left(x\\right) &#8211; 2x +\\frac{3}{2} \\ln\\left(1+x^2\\right)+2\\arctan\\left(x\\right) + C \\]\n<\/p><\/div>\n<\/fieldset>\n<p><\/p>\n<p>En el siguiente v\u00eddeo se muestra c\u00f3mo puede ayudarnos Geeogebra con las integrales. Tanto para obtenerlas directamente como para servir de apoyo. Se obtiene la primera de las tres anteriores.<\/p>\n<p><div style=\"text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/MM_apjmmGS4\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<p><\/p>\n<p>Espero que todo est\u00e9 bien expuesto y haya sido \u00fatil.<\/p>\n<p>Gracias por tu visita y hasta la siguiente.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Bienvenida a la entrada de hoy, en la que vamos a una segunda parte dedicada a las integrales de las funciones racionales [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"post-templates\/post_nosidebar.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[19],"tags":[61,41,60,50],"class_list":["post-710","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematicas-ii","tag-calculo-integral","tag-geogebra","tag-integrales-indefinidas","tag-video"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/710","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=710"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/710\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":715,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/710\/revisions\/715"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=710"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=710"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=710"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}