{"id":651,"date":"2020-11-08T12:27:02","date_gmt":"2020-11-08T10:27:02","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=651"},"modified":"2020-11-08T12:27:02","modified_gmt":"2020-11-08T10:27:02","slug":"variacion-de-funcion-trigonometrica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=651","title":{"rendered":"Variaci\u00f3n de funci\u00f3n trigonom\u00e9trica"},"content":{"rendered":"<style type=\"text\/css\">\nboton {\n border: none;\n background: rgba(0,0,0,0);\n color: #3a7999;\n box-shadow: inset 0 0 0 3px #3a7999;\n padding: 10px;\n font-size: 125%;\n border-radius: 5px;\n position: relative;\n box-sizing: border-box;\n}\n<\/style>\n<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>Si echamos un vistazo a nuestra serie de entradas dedicadas a la resoluci\u00f3n de problemas sobre \u00abAplicaciones de las Derivadas\u00bb observaremos que las funciones trigonom\u00e9tricas brillan por su ausencia. Pues hoy acabamos con ese olvido: vamos a estudiar la variaci\u00f3n de una funci\u00f3n trigonom\u00e9trica en un intervalo compacto y, por supuesto, vamos a repasar las funciones seno y coseno.<\/p>\n<p>Las funciones seno y coseno, como recordaremos, tienen como gr\u00e1ficas ondas. Son muy importantes, no s\u00f3lo en el estudio de la geometr\u00eda, para el an\u00e1lisis de fen\u00f3menos ondulatorios y peri\u00f3dicos. Y, aunque parezca sorprendente, gran parte de las funciones que conocemos pueden expresarse como una suma, de infinitos t\u00e9rminos eso s\u00ed, de funciones seno o coseno. Se estudia esto en la rama de las Matem\u00e1ticas conocida como An\u00e1lisis de Fourier, en honor al primer matem\u00e1tico que estudi\u00f3 con profundidad estas cuestiones.<\/p>\n<p>Pasemos ya al estudio de nuestro problema del d\u00eda.<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\nConsideremos la funci\u00f3n \\(f:\\left[0\\,,2\\pi\\right]\\rightarrow\\mathbb{R}\\) definida mediante<br \/>\n\\[f\\left(x\\right)=\\frac{\\operatorname{sen}x}{\\operatorname{sen}x-2}\\]<br \/>\nEstudiemos su variaci\u00f3n y determinemos sus valores extremos.<\/p>\n<ol>\n<\/fieldset>\n<p>Aqu\u00ed estudiamos detalladamente el problema propuesto:<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/n_nP-dM1tsQ\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<p>Como autoevaluaci\u00f3n, intenta responder a la siguiente&#8230;<\/p>\n<form name=\"ejercicio\">\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div class=\"pregunta\">\n<div style=\"text-align: center;\">CUESTI\u00d3N<\/div>\n<p>Consideremos<br \/>\n\\[g\\left(x\\right)=\\frac{\\operatorname{sen}x}{\\operatorname{sen}x-1}\\]<br \/>\n\u00bfAlcanza la funci\u00f3n sus valores extremos en \\(I=\\left[0\\,,2\\pi\\right]\\)?<\/p>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#9989; Correcto '\" type=\"radio\" \/> No, no est\u00e1 acotada ni superior ni inferiormente.<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('suger1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver sugerencia\">&#10067;<\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> S\u00ed, toda funci\u00f3n continua alcanza sus valores extremos en un compacto.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> No porque es discontinua.<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> S\u00ed, pues las ondas son funciones continuas y acotadas.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\"text-align: center;\"><input name=\"feedback1\" size=\"10\" \/><\/div>\n<p>\n<\/div>\n<div id=\"suger1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Sugerencia:<\/p>\n<p>Debemos estudiar previamente la continuidad de la funci\u00f3n en el intervalo estudiado: la funci\u00f3n s\u00f3lo es discontinua en los ceros del denominador.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"solu1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>La funci\u00f3n no es continua en el intervalo dado. Pero una funci\u00f3n discontinua tambi\u00e9n puede tener m\u00e1ximo y m\u00ednimo. Hay que estudiarlo: la funci\u00f3n s\u00f3lo puede ser discontinua en los ceros del denominador.<br \/>\n\\[\\operatorname{sen}x-1=0 \\rightarrow \\operatorname{sen}x=1  \\xrightarrow{x\\in I} x=\\frac{\\pi}{2}\\]<br \/>\nAs\u00ed que la funci\u00f3n es discontinua para ese n\u00famero pues no tiene valor y:<br \/>\n\\[\\lim_{x\\to \\pi \/2 -}g(x)=\\frac{1}{~0-}=-\\infty \\quad , \\quad \\lim_{x\\to \\pi \/2 +}g(x)=\\frac{1}{~0+}=+\\infty \\]<br \/>\nResulta que la funci\u00f3n no est\u00e1 acotada ni superior ni inferiormente. Y, en consecuencia, no tiene ni valor m\u00e1ximo ni valor m\u00ednimo en dicho intervalo.\n<\/p><\/div>\n<\/fieldset>\n<p>\n<\/form>\n<p>Bueno, espero que el v\u00eddeo haya sido \u00fatil. Sobre todo el repaso b\u00e1sico del seno y del coseno. \u00a1Ah! Y atenci\u00f3n a la cuesti\u00f3n: hay que comprobar con atenci\u00f3n la continuidad y derivabilidad antes de sacar conclusiones. \u00a1Nos vemos!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Si echamos un vistazo a nuestra serie de entradas dedicadas a la resoluci\u00f3n de problemas sobre \u00abAplicaciones de las Derivadas\u00bb observaremos que [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"post-templates\/post_nosidebar.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[19],"tags":[59,58,50],"class_list":["post-651","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematicas-ii","tag-aplicaciones-de-las-derivadas","tag-calculo-diferencial","tag-video"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/651","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=651"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/651\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":667,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/651\/revisions\/667"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=651"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=651"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=651"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}