{"id":645,"date":"2020-11-07T14:35:15","date_gmt":"2020-11-07T12:35:15","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=645"},"modified":"2020-11-07T14:36:59","modified_gmt":"2020-11-07T12:36:59","slug":"monotonia-y-extremos-en-funciones-logaritmicas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=645","title":{"rendered":"Monoton\u00eda y extremos en una funci\u00f3n logar\u00edtmica"},"content":{"rendered":"<style type=\"text\/css\">\nboton {\n border: none;\n background: rgba(0,0,0,0);\n color: #3a7999;\n box-shadow: inset 0 0 0 3px #3a7999;\n padding: 10px;\n font-size: 125%;\n border-radius: 5px;\n position: relative;\n box-sizing: border-box;\n}\n<\/style>\n<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>Hola. En esta entrada vamos a estudiar un problema que intentaremos resolver mediantes las derivadas. Partiendo de la funci\u00f3n logaritmo neperiano, vamos a estudiar la variaci\u00f3n de dos funciones relacionadas con ella.<\/p>\n<p>Vamos directamente al enunciado:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\nSea \\(f:\\left(0\\,,+\\infty\\right)\\rightarrow \\mathbb{R}\\) donde<br \/>\n\\[f\\left(x\\right)=\\ln\\left(x\\right) \\]<\/p>\n<ol>\n<li>Demuestra que su funci\u00f3n derivada es decreciente en todo su dominio.<\/li>\n<p><\/p>\n<li>Analiza la monoton\u00eda y encuentra los extremos de la funci\u00f3n definida mediante<br \/>\n\\[ g\\left(x\\right)=\\frac{f\\left(x\\right)}{x} \\quad , \\quad ( x > 0 ) \\]\n<\/li>\n<ol>\n<\/fieldset>\n<p>En el v\u00eddeo enlazado a continuaci\u00f3n se ha estudiado detalladamente el problema antes propuesto:<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/wLE95D0hb0k\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<p>Como autoevaluaci\u00f3n, intenta responder a la siguiente&#8230;<\/p>\n<form name=\"ejercicio\">\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div class=\"pregunta\">\n<div style=\"text-align: center;\">CUESTI\u00d3N<\/div>\n<p>Razona sobre la certeza de la siguiente afirmaci\u00f3n: &quot;Si \\( f \\) es derivable en \\(\\mathbb{D}\\) y la derivada es negativa en todo punto, entonces la funci\u00f3n es decreciente en \\(\\mathbb{D}\\).&quot;<\/p>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> Es cierta, tal y como hemos estudiado.<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('suger1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver sugerencia\">&#10067;<\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> Es falso, pues la funci\u00f3n es c\u00f3ncava.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#9989; Correcto '\" type=\"radio\" \/> Es cierta si \\(\\mathbb{D}\\) es un intervalo.<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> La derivada de una funci\u00f3n no puede ser negativa en todo punto.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\"text-align: center;\"><input name=\"feedback1\" size=\"10\" \/><\/div>\n<p>\n<\/div>\n<div id=\"suger1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Sugerencia:<\/p>\n<p>Si  \\(\\mathbb{D}=\\mathbb{R}-\\{0\\}\\), la derivada de la funci\u00f3n definida mediante \\(y=\\frac{1}{x} ~,~ ( x \\in \\mathbb{D} ) \\) es siempre negativa, pero la funci\u00f3n no es decreciente en \\(\\mathbb{D}\\), porque \\( y(-1) &lt; y(+1) \\). Y para ser decreciente debe ser \\( \\forall a\\,,b\\in\\mathbb{D}: a < b \\Rightarrow y(a) \\geq y(b) \\).<\/p>\n<p>Revisa con cuidado el enunciado de las propiedades que uses.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"solu1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Observa primero la sugerencia y en en cuenta que las propiedades que relacionan el signo de las derivada con la monoton\u00eda de la funci\u00f3n est\u00e1n enunciadas sobre intervalos del dominio en el que la funci\u00f3n es derivable. As\u00ed que el enunciado es falso tal y como est\u00e1 enunciado.<\/p>\n<p>Es cierto, no obstante, si \\(\\mathbb{D}\\) es un intervalo (bien sea todo el dominio bien sea un intervalo contenido en \u00e9l).<\/p>\n<\/div>\n<\/fieldset>\n<p>\n<\/form>\n<p>Interesante esta cuesti\u00f3n acerca de lo analizado en la primera parte del problema. Es importante analizar con cuidado las hip\u00f3tesis (requisitos) de una propiedad para no aplicarlas indebidamente y obtener falsas conclusiones.<\/p>\n<p>Un saludo y gracias por tu visita.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Hola. En esta entrada vamos a estudiar un problema que intentaremos resolver mediantes las derivadas. Partiendo de la funci\u00f3n logaritmo neperiano, vamos [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"post-templates\/post_nosidebar.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[19],"tags":[59,58,50],"class_list":["post-645","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematicas-ii","tag-aplicaciones-de-las-derivadas","tag-calculo-diferencial","tag-video"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/645","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=645"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/645\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":647,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/645\/revisions\/647"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=645"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=645"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=645"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}