{"id":637,"date":"2020-11-02T10:48:36","date_gmt":"2020-11-02T08:48:36","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=637"},"modified":"2020-11-02T19:54:42","modified_gmt":"2020-11-02T17:54:42","slug":"continuidad-variacion-y-extremos-en-un-compacto","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=637","title":{"rendered":"Continuidad, variaci\u00f3n y extremos en un compacto"},"content":{"rendered":"<style type=\"text\/css\">\nboton {\n border: none;\n background: rgba(0,0,0,0);\n color: #3a7999;\n box-shadow: inset 0 0 0 3px #3a7999;\n padding: 10px;\n font-size: 125%;\n border-radius: 5px;\n position: relative;\n box-sizing: border-box;\n}\n<\/style>\n<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>Continuamos nuestro estudio de \u00abAplicaciones de las Derivadas\u00bb. De la mano de una funci\u00f3n racional, vamos a repasar c\u00f3mo obtener sus intervalos de monoton\u00eda y sus extremos relativos.<\/p>\n<p>Vamos a estudiar tambi\u00e9n su continuidad y algo que es muy importante en el estudio de todas las magnitudes y variables: la obtenci\u00f3n de sus valores extremos en un intervalo compacto.<\/p>\n<p>A un intervalo cerrado y acotado de la recta real se le llama compacto. As\u00ed un intervalo compacto es \\(I=\\left[a\\,,b\\right]\\) donde sus \\(a\\) y \\(b\\) son n\u00fameros reales. Una propiedad fundamental de las funciones continuas es que alcanzan en todo intervalo compacto, contenido en su dominio, un valor m\u00e1ximo y un valor m\u00ednimo. Esta propiedad es denominada Teorema de Weirstrass para las funciones continuas.<\/p>\n<p>Para garantizar la conclusi\u00f3n, la funci\u00f3n debe ser continua y que no sirve cualquier intervalo. As\u00ed, por ejemplo, la funci\u00f3n que estudiamos a continuaci\u00f3n  no alcanza valores extremos en \\(I=\\left[-2\\,,2\\right]\\) -porque no es continua en \u00e9l-, ni tampoco en \\(I=\\left(1,4\\right)\\) -porque el intervalo no es cerrado- ni en \\(I=\\left[2,+\\infty\\right)\\) -porque no es acotado-.<\/p>\n<p>Pasemos ya al estudio de nuestro problema del d\u00eda.<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\nConsideremos la funci\u00f3n \\(f\\) definida mediante<br \/>\n\\[f\\left(x\\right)=3x+\\frac{12}{x-1}\\quad , \\quad (x\\neq1)\\]<\/p>\n<ol>\n<li>Estudia su continuidad.<\/li>\n<p><\/p>\n<li>\u00bfEn qu\u00e9 intervalos es creciente o decreciente?<\/li>\n<p><\/p>\n<li>Calcula sus valores extremos en \\(I=\\left[2\\,,4\\right]\\)<\/li>\n<p><\/p>\n<ol>\n<\/fieldset>\n<p>En el v\u00eddeo enlazado a continuaci\u00f3n se ha estudiado detalladamente el problema antes propuesto:<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/SYmkj_95aE8\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<p>Como autoevaluaci\u00f3n, intenta responder a la siguiente&#8230;<\/p>\n<form name=\"ejercicio\">\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div class=\"pregunta\">\n<div style=\"text-align: center;\">CUESTI\u00d3N<\/div>\n<p>Sea \\(f\\) es la misma funci\u00f3n estudiada m\u00e1s arriba y \\(J=\\left[-4\\,,0\\right]\\). Los valores extremos de la funci\u00f3n en este intervalo compacto son:<\/p>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> No existen pues la funci\u00f3n no es continua en \u00e9l.<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('suger1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver sugerencia\">&#10067;<\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> \\(m=-4\\text{ y }M=0\\).<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#9989; Correcto '\" type=\"radio\" \/> \\(m=-14.4\\text{ y }M=-9\\)<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> \\(m=f(-4)\\text{ y }M=f(0)\\)<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\"text-align: center;\"><input name=\"feedback1\" size=\"10\" \/><\/div>\n<p>\n<\/div>\n<div id=\"suger1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Sugerencia:<\/p>\n<p>Observemos que como la funci\u00f3n es continua en el intervalo es compacto, los valores extremos se alcanzan. Construye una tabla de variaci\u00f3n que incluya: punto incial y final as\u00ed como los extremos relativos interiores.<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"solu1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Sigamos la sugerencia del ejercicio, teniendo en cuenta que en el v\u00eddeo se muestra que hay un extremo relativo para \\(x=-1\\).<\/p>\n<p>Calculamos \\(f(-4)=-14.4 \\,,f(-1)=-9 \\,,f(0)=-12\\). As\u00ed que los valores m\u00ednimo y m\u00e1ximo que alcanza la funci\u00f3n en  \\(J=\\left[-4\\,,0\\right]\\) son \\(m=-14.4\\text{ y }M=-9\\), respectivamente.<\/p>\n<\/div>\n<\/fieldset>\n<p>\n<\/form>\n<p>Espero haber sido claro en la exposi\u00f3n y que todo se haya comprendido. \u00a1Nos vemos!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Continuamos nuestro estudio de \u00abAplicaciones de las Derivadas\u00bb. 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