{"id":598,"date":"2020-10-22T11:46:27","date_gmt":"2020-10-22T09:46:27","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=598"},"modified":"2020-10-22T11:46:27","modified_gmt":"2020-10-22T09:46:27","slug":"derivabilidad-con-valores-absolutos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=598","title":{"rendered":"Derivabilidad con valores absolutos"},"content":{"rendered":"<style type=\"text\/css\">\nboton {\n border: none;\n background: rgba(0,0,0,0);\n color: #3a7999;\n box-shadow: inset 0 0 0 3px #3a7999;\n padding: 10px;\n font-size: 125%;\n border-radius: 5px;\n position: relative;\n box-sizing: border-box;\n}\n<\/style>\n<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>En la entrada de hoy propongo un ejercicio en el que vamos a estudiar la continuidad y derivabilidad de una funci\u00f3n. En este caso, dada a trav\u00e9s de una f\u00f3rmula en la que encontramos un valor absoluto.<\/p>\n<p>Concretamente:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\nConsideremos la funci\u00f3n \\(f:\\mathbb{R}\\rightarrow\\mathbb{R}\\) definida por<br \/>\n\\[ f\\left(x\\right) = x^2-2\\,|x-1 | \\]<br \/>\nEstudiemos su continuidad y derivabilidad.<br \/>\n<\/fieldset>\n<p>Bueno, el siguiente v\u00eddeo hemos hecho un estudio m\u00e1s o menos detallado. Y, en primer lugar, hemos intentado eliminar el valor absoluto de la f\u00f3rmula para que quede expresada como una funci\u00f3n (polin\u00f3mica) a trozos.<\/p>\n<div style=\"text-align: center\">\n<iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/NTOssgOHUlg\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe>\n<\/div>\n<p>Para ver si has captado el procedimiento, intenta responder:<\/p>\n<form name=\"ejercicio\">\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808; padding: 10px;\">\n<div class=\"pregunta\">\n<div style=\"text-align: center;\">CUESTI\u00d3N<\/div>\n<p>La gr\u00e1fica definida mediante<br \/>\n\\[ f\\left(x\\right) = | x-a | \\]<br \/>\nes:<\/p>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#9989; Correcto '\" type=\"radio\" \/> Continua pero no derivable para \\(x=a\\).<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('suger1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver sugerencia\">&#10067;<\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> Continua pero no derivable para \\(x=0\\).<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto'\" type=\"radio\" \/> Discontinua y no derivable en \\(x=a\\).<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu1')\" style=\"text-decoration: none;\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"left\"><input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/>Continua y derivable en todo punto.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\"text-align: center;\"><input name=\"feedback1\" size=\"10\" \/><\/div>\n<p>\n<\/div>\n<div id=\"suger1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Sugerencia:<\/p>\n<p>Siguiendo la sugerencia del v\u00eddeo, expresemos como una funci\u00f3n a trozos. Para ello resolvemos \\(x-a=0\\rightarrow x=a\\) y ahora distinguimos los casos \\(x\\leq a\\) y \\(x>a\\).<\/p>\n<\/div>\n<div id=\"solu1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Utilizando lo se\u00f1alado en la sugerencia anterior observemos que \\(x-a\\) es negativo a la izquierda de \\(x=a\\) y positivo a su derecha, por ello:<br \/>\n\\[ f\\left(x\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ccr}-x+a &#038;\\text{si}&#038;x \\leq a\\\\ x-a &#038;\\text{si}&#038;x>a\\\\\\end{array}\\right. \\]<br \/>\nAhora es f\u00e1cil comprobar que es continua en todo punto (particularmente en \\(x=a\\) donde valor y tendencias son todas 0), y derivable para \\(x\\neq a\\) con<br \/>\n\\[ f&#8217;\\left(x\\right)=\\left\\{\\begin{array}{ccr}-1 &#038;\\text{si}&#038;x < a \\\\ 1 &#038;\\text{si}&#038;x>a\\\\\\end{array}\\right. \\]<br \/>\nPero no es derivable en \\(x=a\\) porque<br \/>\n\\[ f&#8217;\\left(a-\\right)=-1 \\neq f&#8217;\\left(a+\\right)=+1 \\]\n<\/div>\n<\/fieldset>\n<p>\n<\/form>\n<p>Espero haberme explicado bien y que os sea \u00fatil, tanto el v\u00eddeo como la cuesti\u00f3n previa.<\/p>\n<p>Gracias por la visita. Saludos.<\/p>\n<p><\/html><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En la entrada de hoy propongo un ejercicio en el que vamos a estudiar la continuidad y derivabilidad de una funci\u00f3n. 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