{"id":494,"date":"2020-06-02T08:30:27","date_gmt":"2020-06-02T06:30:27","guid":{"rendered":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=494"},"modified":"2020-06-10T22:28:41","modified_gmt":"2020-06-10T20:28:41","slug":"curvas-suaves-tangencia-y-derivadas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/?p=494","title":{"rendered":"Curvas suaves, tangencia y derivadas"},"content":{"rendered":"<style type=\"text\/css\">\nboton {\n border: none;\n background: rgba(0,0,0,0);\n color: #3a7999;\n box-shadow: inset 0 0 0 3px #3a7999;\n padding: 10px;\n font-size: 150%;\n border-radius: 5px;\n position: relative;\n box-sizing: border-box;\n}\n<\/style>\n<p><script type=\"text\/javascript\">function SINO(cual) {\n   var elElemento=document.getElementById(cual);\n   if(elElemento.style.display == 'block') {\n      elElemento.style.display = 'none';\n   } else {\n      elElemento.style.display = 'block';\n   }\n}\n<\/script><\/p>\n<p>Aqu\u00ed ya listos para concluir el curso con el estudio de nuestra \u00faltima lecci\u00f3n: Introducci\u00f3n a las Derivadas.<\/p>\n<p>\u00a1Preparad las palomitas que hoy hay sesi\u00f3n de doble peli! Bueno, os prometo que no va a ser largo. Entre los v\u00eddeos y la tarea no m\u00e1s de 50 minutos; vamos, lo que dura una clase normal. Muy importante que los veais ambos: el primero sin c\u00e1lculos ni f\u00f3rmulas&#8230; S\u00f3lo unas nociones e ideas sencillas. El segundo todo lo contrario: c\u00f3mo derivar una funci\u00f3n. Esto ser\u00e1 fundamental en tus posteriores estudios cient\u00edficos.<\/p>\n<p>Vamos a comenzar con una breve introducci\u00f3n a esa introducci\u00f3n :-). Lo que veremos no es muy complicado: ideas intuitivas a partir de unas gr\u00e1ficas. Comenzamos con una gr\u00e1fica discontinua. \u00bfRecuerdas? Y luego vamos a analizar qu\u00e9 gr\u00e1ficas continuas tienen recta tangente. Esto parece sencillo, porque estamos acostumbrados a estudiarla en curvas simples.<\/p>\n<p>Imaginemos una recta y un circunferencia. Hay tres posiciones relativas, como podemos ver en la siguiente imagen de wikipedia:<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/5\/5e\/Rectas_y_circunferencias_01.svg\/200px-Rectas_y_circunferencias_01.svg.png\" width=\"200\" height=\"200\" border=\"1\" title=\"Posiciones relativas recta-circunferencia\" alt=\"Rectas tangente, secante y exterior a una circunferencia\" \/><\/p>\n<\/div>\n<p>La recta \\(a\\) es exterior (no se tocan), la recta \\(b\\) la atraviesa (son secantes en dos puntos \\(A\\) y \\(B)\\) y la recta \\(c\\) s\u00f3lo tiene un punto de contacto \\(T\\). \u00c9sta es tangente a la circunferencia.<\/p>\n<p>Pero cuando se estudian curvas m\u00e1s complejas&#8230; no es tan simple. Porque \u00bfqu\u00e9 es la recta tangente a una curva? Si, s\u00ed&#8230; la idea la tenemos: recta que roza a una curva en un punto de modo que en las proximidades no hay otro contacto. El problema es \u00bfqu\u00e9 quiere decir \u00abque la roza\u00bb? Esto en matem\u00e1ticas no es admisible. Hay que investigarlo, analizarlo y dar una definici\u00f3n satisfactoria. A ello vamos.<\/p>\n<p>Descarga el pdf de la lecci\u00f3n 10, que tienes como siempre en la <a href=\"https:\/\/www.dropbox.com\/sh\/kwekqebroi9iqe2\/AABQz-93Aef-Wpj1E1bwUwKJa?dl=0\" title=\"Carpeta dropbox del curso\">carpeta de materiales del curso<\/a>. Ah, y muy conveniente que tengas a mano tambi\u00e9n el <a href=\"https:\/\/www.dropbox.com\/sh\/kwekqebroi9iqe2\/AAAVpvh8o5m_BR5eCEjYI_vXa\/esquemas\/esqu10-matbach1cn-introduccion_a_las_derivadas.pdf?dl=0\n\" title=\"Esquema de Introducci\u00f3n a las Derivadas\">esquema de la lecci\u00f3n<\/a>. Viene todo lo b\u00e1sico y necesario, muy concentradito, incluyendo el formulario.<\/p>\n<p>Aqu\u00ed nuestro primer v\u00eddeo, un corto de 15 minutos para lanzar tres ideas b\u00e1sicas: curvas suaves, tangencia y derivada.<\/p>\n<p><!--more--><\/p>\n<div style=\"text-align: center;\">\n<p><iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/4-g7i-bh-aU\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<\/div>\n<p>De nuevo se ha presentado a las curvas como caminos. Observa que en un punto concreto pueden darse estas tres posibilidades:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>Discontinua.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Continua con pendientes (derivadas) laterales diferentes. Es lo llamado punto anguloso.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Continua con pendientes (derivadas) laterales iguales. Es lo llamado punto suave.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>S\u00f3lo en el \u00faltimo caso hay recta tangente y se puede intentar hallar su pendiente \\(m\\): este n\u00famero es llamado derivada de la funci\u00f3n en dicho punto.<\/p>\n<p>Intenta responder a esta<\/p>\n<form name=\"ejercicio\">\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808;\">\n<div class=\"pregunta\">\n<div style=\"text-align: center;\">CUESTI\u00d3N<\/div>\n<p>El C\u00e1lculo Diferencial, que estudia de forma sistem\u00e1tica las derivadas de las funciones, fue inicialmente desarrollado&#8230;<\/p>\n<table width=\"100%\" cellpadding=\"4\" cellspacing=\"0\">\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none; padding: 5px\">\n<p align=\"left\"> <input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#9989; Correcto '\" type=\"radio\" \/> En el s. XVII por Newton y Leibniz.<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('suger1')\" title=\"Ver sugerencia\">&#10067;<\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none; padding: 5px\">\n<p align=\"left\"> <input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto'\" type=\"radio\" \/> Por un tal Fermat.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none; padding: 5px\">\n<p align=\"left\"> <input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto'\" type=\"radio\" \/> Por Einstein, insigne matem\u00e1tico.<\/p>\n<\/td>\n<td rowspan=\"2\" width=\"10%\" style=\"border: none;\">\n<p align=\"center\"><boton><a href=\"javascript:void(0);\" onclick=\"SINO('solu1')\" title=\"Ver soluci\u00f3n\"> &#9997; <\/a><\/boton><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"90%\" style=\"border: none; padding: 5px\">\n<p align=\"left\"> <input name=\"p1\" onclick=\"document.ejercicio.feedback1.value=' &#10060; Incorrecto '\" type=\"radio\" \/> Por Pepe \u00c1lvarez y sus alumnos en los famosos Logicones.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\"text-align: center;\"><input name=\"feedback1\" size=\"10\" \/><\/div>\n<p>\n<\/div>\n<div id=\"suger1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Sugerencia:<\/p>\n<p>En el v\u00eddeo se muestra al final. Y puedes consultar en la <a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/C%C3%A1lculo_diferencial\" title=\"moodle de mates con Pepe\">wikipedia<\/a><\/p>\n<\/div>\n<div id=\"solu1\" style=\"display: none;\">\n<hr \/>\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n<p>Si no has sabido averiguar cu\u00e1l es la respuesta correcta, ni tras la sugerencia, porque piensas que otra opci\u00f3n es tambi\u00e9n v\u00e1lida, abre un debate en el foro de la lecci\u00f3n en <a href=\"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/moodle\" title=\"moodle de mates con Pepe\">nuestra moodle<\/a> que llamar\u00e1s &#8216;Duda cuesti\u00f3n 2 de junio&#8217;. Puedes enviarme tambi\u00e9n un mensaje privado por mensajer\u00eda interna en la propia moodle.<\/p>\n<\/div>\n<\/fieldset>\n<p>\n<\/form>\n<p>Una vez visto el v\u00eddeo y respondida esa simple cuesti\u00f3n, vayamos a la segunda sesi\u00f3n.<\/p>\n<p>Como se menciona en el v\u00eddeo, si la gr\u00e1fica \\(y=f(x)\\) es suave para \\(x=x_0\\) se dice que \\(f\\) tiene derivada para ese valor y a la pendiente en dicho punto se se llama derivada de la funci\u00f3n, escribi\u00e9ndose \\(m=f'(x_0)\\).<\/p>\n<p>\u00bfPero c\u00f3mo se calcula ese n\u00famero? Pues mediante un razonamiento m\u00e1s o menos complejo, se llega a la siguiente f\u00f3rmula que puede tomarse como definici\u00f3n.<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808;\">\n<p>La funci\u00f3n derivada de \\(y=f(x)\\) viene dada por el siguiente l\u00edmite:<\/p>\n<p>\\[f'(x)=\\lim_{h\\to0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\]<\/p>\n<p>en aquellos puntos en los que exista<\/p>\n<\/fieldset>\n<p>Guaaauuuuuu. Y eso&#8230; \u00bfc\u00f3mo se calcula? Bueno, no os preocup\u00e9is. Ahora veremos c\u00f3mo obtener la funci\u00f3n derivada de las funciones elementales de forma simple.<\/p>\n<p>Derivando polinomios:<\/p>\n<div style=\"text-align: center;\"><iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/mGzDRjIMnXg\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture\" allowfullscreen><\/iframe><\/div>\n<p>Vamos al tajo:<\/p>\n<fieldset style=\"border: 1px solid #8A0808;\">\n<div style=\"text-align: center;\">PLAN DE TRABAJO<\/div>\n<ol>\n<li>\n<p>Vistos los v\u00eddeos y respondida esa simple cuesti\u00f3n, entra en <a href=\"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/moodle\" title=\"moodle de mates con Pepe\">nuestra moodle<\/a> donde ver\u00e1s en la lecci\u00f3n \u00abIntroducci\u00f3n a las Derivadas\u00bb la tarea de hoy. Se trata de una actividad en la que encontrar\u00e1s empotrado un gr\u00e1fico de Geogebra. Haz clic en bot\u00f3n de inicio y te aparecer\u00e1n las f\u00f3rmulas de unos polinomios. No cierres la sesi\u00f3n&#8230;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Calcula en tu cuaderno las derivadas de ellos, tal y como se muestra en el segundo v\u00eddeo de hoy.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Fotograf\u00eda o escanea tu trabajo y convierte a pdf. Procura no usar una resoluci\u00f3n excesiva. Sube el archivo usando esa misma tarea de la moodle y ya puedes dar como concluido tu trabajo.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Si tienes dudas, puedes preguntar en el foro, abriendo un debate llamado &#8216;duda tarea 2 de junio&#8217; o enviarme un mensaje privado en la misma moodle.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Estar\u00e9 conectado a la plataforma de 12:00 a 13:00 y de 18:00 a 19:00 horas, de hoy 2 de junio. Puedes enviarme consultas por mensajer\u00eda interna y tienes hasta las 20:00 horas para culminar tu tarea.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Tiempo m\u00e1ximo estimado: 60 minutos.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<\/fieldset>\n<p>Ten en cuenta que la mitad de la asignatura Matem\u00e1ticas II toma como base la noci\u00f3n de derivada. \u00a1E igual si vas a estudiar F\u00edsica! No es momento de abandonar. Hemos sido fuertes hasta ahora. \u00a1S\u00f3lo nos quedan un par de semanas! \u00a1\u00a1\u00c1nimo!!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Aqu\u00ed ya listos para concluir el curso con el estudio de nuestra \u00faltima lecci\u00f3n: Introducci\u00f3n a las Derivadas. \u00a1Preparad las palomitas que [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"post-templates\/post_nosidebar.php","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[3],"tags":[38,54,39,41,53,50],"class_list":["post-494","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematicas-i","tag-analisis","tag-derivadas","tag-funciones","tag-geogebra","tag-moodle","tag-video"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/494","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=494"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/494\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":524,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/494\/revisions\/524"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=494"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=494"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.pealfa.duckdns.org\/wordpress\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=494"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}